しとりごと５

1：さすらいの旅人 :

2018/11/07 (Wed) 19:40:22

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前スレ
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168：mespesado:

2019/06/29 (Sat) 23:36:36

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>>166

　「排中律」の意味がわからない人も多いと思うので補足。

　これは例えば「今日は暑い」みたいに人によって正しいと思う人と正しく

ないと思う人がいて曖昧な命題のような場合を想定しているのではない。

　数学の、必要であれば論理式ですべて記述可能な命題についての話をして

いるのである。

　例えば、現在未解決の数学の命題に、ゴールドバッハ予想と言って、「４

以上の偶数は必ず２個の素数の和として表すことができる」という命題があ

るが、この意味は、例えば ４ は偶数だが、これは素数 ２ を使って ２＋２

と表すことができ、次の偶数 ６ も素数 ３ を使って ３＋３ と表すことが

できて、次の偶数 ８ も素数 ３ と ５ を使って ３＋５ と表すことができ

て…というわけで、今ではかなりデカい偶数についても２つの素数の和とし

て表すことができることがコンピューターを使って確かめられている。

　しかし、「すべての偶数が２個の素数の和として表される」ことを確かめ

ることを実際にしらみつぶしによって確かめるわけにはいかない。なぜなら

「４以上の偶数」は無限個有るからだ。そこで、しらみつぶしではなく、数

学的な「証明」によって確かめるしかないのだが、現在のところ、この命題

が「正しい」ことを証明することにも「誤りである」ことを証明することに

も、誰も成功していない。でも、大半の数学者は「正しいこと、あるいは正

しくないことのどちらかを『証明』することには誰も成功していないが、し

かし『正しい』か『正しくない』か、ということは決まっていて、ただ人間

がそのどちらであるかを知る術がないだけだ」と思っている。

　ところが近世になって登場した「直観主義」というのは、「正しいことの

証明も正しくないことの証明もできていないのなら、どうして『正しい』か

『正しくない』か、ということは決まっているなどと言えるのか？」と疑問

を呈するのである。

　これが例えば、「４以上で『１の後に０が１兆個並ぶ数』以下のすべての

偶数は２個の素数の和として表される」という命題なら、これが正しいか正

しくないかを、たとえ現在の最強のコンピューターを使っても確かめること

はできないかもしれないけれど、確かめるべき対象は、個数としては天文学

的に多いけれど、有限個ではあるのだから、「原理的には」しらみつぶしに

確かめることによって、正しいか正しくないかを判定することはできる。だ

からこの命題であれば「正しい」のか「正しくない」のかどちらかである、

という排中律はこの場合なら成り立っている、ということができる。

　ところが「『１の後に０が１兆個並ぶ数』以下」という上限を撤廃して、

「４以上の『すべての』偶数は…」と主張したとたんに、たとえ将来どんな

に計算速度の速いコンピューターができたとしても、確かめるべき対象が、

文字通り無限個有るのだから、これらをしらみつぶしに確かめることは、も

はや「原理的にも不可能」である。

　ということは、そもそもこのゴールドバッハ予想というのは正しいか正し

くないかを確かめることは原理的にもできない、というよりも、そもそもの

問題として、「この命題が『正しい』とはどういう意味か？」というところ

に立ち返らなければならない。

　つまり、人間のような「連想によって未知の概念を理解する機能」を持た

ない人工知能にゴールドバッハ予想が「正しい」とはどういう意味か、とい

うことを教えようとした場合、「４以上で『１の後に０が１兆個並ぶ数』以

下のすべての偶数は２個の素数の和として表される」という命題が「正しい」

とはどういう意味か、ということを教えることは可能で、例えば「４から出

発して順に２を加えながら、『１の後に０が１兆個並ぶ数』に達するまで、

その数が２個の素数の和として表されるかどうかを確かめ、答えがどの場合

でも Yes だったら『正しい』と判断し、一つでも No の場合があれば『正

しくない』と判断するのだぞ」と教えればよい。つまりプログラムを組んで

『正しい』又は『正しくない』という答を出力する方法があれば、この人工

知能に『正しい』とか『正しくない』という“意味”を教えることができる。

　ところがゴールドバッハ予想の場合は確かめる対象が無限個あるため、こ

のような『正しい』又は『正しくない』のいずれかを出力するプログラムを

組むことは原理的に不可能である。ということは、つまり、このゴールドバ

ッハ予想というのは、それが『正しい』とはどういう意味であるかというこ

と自体が実は「定義できない」ということを意味するわけである。

　この事実に気が付いたのが「直観主義」論者であるが、人類がそれまでこ

の事実に気が付かなかった理由は、人間というものが「類推」や「連想」に

よって、本当は定義できていないものでも、あたかも定義できているかのよ

うに錯覚するという「特技」を持っているからである。実際、何も知らない

生まれたばかりの赤ん坊が母国語をマスターするというプロセスを考えてみ

よう。例えば大人の日本人が英語を習得する場合なら、『英和辞典』がある

から、英語を聞いたり読んだりしても、それを自分が知っている日本語に結

び付けて理解することができるが、生まれたばかりの赤ん坊は初めて聞く母

国語を何らかの既知の言語に「翻訳」することによって理解する、という手

段を取ることができない。彼ら赤ん坊にとって、未知なる母国語を理解する

方法は、類推や連想を駆使してその言葉の意味を理解する、そういう戦略し

か取ることができない。人類は、この「類推」と「連想」の能力を、あまり

にも自然に身に着けているため、ゴールドバッハ予想のように、「無限の対

象」について述べられた「命題」を、本当ならその「正しさ」というものを

「定義」することさえできないのに、対象となるデータの個数がものすごく

デカいけれども有限ではある場合であれば「正しい」とはどういう意味かを

「定義」することできるという事実の類推と連想によって、範囲が無限の場

合でも同様に「正しい」とはどういう意味であるかを定義できていると「錯

覚」してきた、というのが「排中律」を無条件で正しいと錯覚し続けてきた

真の原因であると思われるのである。

　ちょっとシリアスでコムツカシイ話を、酒を飲みながら、どこまで尻メツ

レツにならずにこの場違いなスレッドでやってみた。迷言多謝。

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